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8A娱乐当曲线位于三维空间中的二维曲面上时，可以定义法曲率、测地曲率和测地挠率。设曲面上的曲线在某一点处的切向量为，曲面在这一点处的法向量为。则曲线的法曲率就是曲线在和张成的平面上的投影曲线的曲率；测地曲率就是曲线在曲面的切平面上的投影的曲率。

1949年10月，解放军攻占四县，录得居民215.84万人。1953年实行第一个五年计划后，工农业生产发展较快，人民生活明显改善，国家鼓励生育。1957年四县人口增至257.97万人，比1949年增加42.13万人，年增长2.25%。

2011年8月，義大利那不勒斯大学彼得雷拉（Daniele Petrella）教授提出新证据，指出马可·波罗的游记有多个不合理的地方。例如对1274年及1281年忽必烈两度進攻日本的描述，多次出现了自相矛盾及错误，并且混淆了两次进攻的细节：马可·波罗称，第一次进攻的舰队离开朝鲜半岛后，在抵达日本海岸前受到颱风吹袭，但是实际上舰队是在第二次进攻时遇上颱风的。彼得雷拉质疑马可·波罗若亲身目击事件，不可能混淆相隔七年的两件事。彼得雷拉亦指出马可·波罗对蒙古舰队的描述，与考古团队在日本发现的船舰残骸不符：马可·波罗称蒙古人使用五桅帆船，但是实际上船舰-{}-只有三桅帆船。襄陽獻炮是明顯有違史實的捏造，他自稱獻回回炮幫助攻打襄陽，獻回回炮的是波斯的亦思馬因和阿老瓦丁，元史和其他資料都有他們的傳記引以為證。此外马可·波罗多次以波斯语描述地名和物件名称，而非使用当地所使用的语言：例如他指蒙古人用称为“chunam”的沥青使船身防水，但“chunam”其实是波斯语的“沥青”，汉语和蒙古语中并无此词。