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子群和商群以下列方式相互關聯：''G'' 的子集''H'' 可以被看作單射，就是說任何目標元素都有最多一個映射到它的元素。單射的對立是滿射（所有目標的元素都被映射到了），比如規范映射。通过這些同態理解子群和商群強調了這些定義中內在的結構性概念。一般的說，同態既不是單射也不是滿射。群同態的核與像和第一同構定理研究這個現象。

因為信忠進擊迅速，未能整理形勢並從諏訪撤退的武田勝賴放棄並燒燬新府城後逃亡。信忠開始進行追擊，在信長本隊進入武田領地前，逼使武田勝賴、信勝父子在天目山之戰中自殺，令武田家滅亡。3月26日，進入甲府的信長因為信忠的戰功而賞賜腰物「梨地蒔」，表明要「給予天下的與奪之權」（）的意思。因為論功行賞，寄騎部將河尻秀隆被賜予甲斐國（除了穴山梅雪的領地外）和信濃國諏訪郡，森長可被賜予信濃國高井、水內、更科、埴科郡，毛利長秀被賜予信濃國伊那郡，於是影響力達至美濃、尾張、甲斐、信濃4國。