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的元素被稱為 內的開集合。 的子集被稱為閉集合，若其補集為 內的元素。 的子集可能是開集合、閉集合、兩者都是（閉開集），或兩者都不是。空集合及 自身永遠都同時是開集合與閉集合。一個包含點 的開集合稱之為 的「鄰域」。

扩张主义者在1844年大选后打出“Fifty-Four Forty or Fight!（以北纬54度40分划界，否则开战！）”的口号。这句口号经常被与波尔克联系在一起，但实际上是波尔克在民主党内的竞争对手提出的，他们希望波尔克在俄勒冈问题上像兼并得克萨斯那样强硬。波尔克希望能扩大领土，但不希望战争，并对英国外交部长乔治·汉密尔顿-戈登作出了让步。1846年的俄勒冈条约将俄勒冈地区以49度纬线划界，这与美国最初的提议相一致。虽然还是有很多人叫嚣着要求整个地区，参议院批准了这个条约。由于波尔克满足于以49度纬线划界，波尔克激怒了许多中西部民主党人。 这些民主党人相信波尔克仅仅要求在49度纬线处划界，当初他们相信他要求以54度纬线划界是受到了愚弄。美国要求的那部分俄勒冈地区后来组成了华盛顿、俄勒冈、爱达荷州，以及部分的蒙大拿和怀俄明州。