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1912年秋，中华民国建立后，盛宣怀回到上海，在上海租界继续主持轮船招商局和汉冶萍公司。在清末民初日本资本全面渗入中国的背景下，汉冶萍公司与日本商人早有贸易往来，并有大量借款。起初，大冶铁矿和汉阳铁厂转为商办后盛宣怀向日本商人借款最多，1896年第一次借款，1898年开办萍乡煤矿又向日商借款，从1902年到1906年向日商借款约300多万两白银（425万日圆）。1899年伊藤博文来华时提出用日本煤焦换取汉冶萍矿石，得到张之洞的赞同并由盛宣怀负责具体事宜。1908年三厂合并后，由于招募商股很不顺利，又不得不向日商贷款。日本要求一部分管理权，但是袁世凯要将公司收归国有，议不成。从1908年到辛亥革命前夕，汉冶萍公司借外债12次，其中借日本人的有6笔。

由于这些复数的取值依赖于坐标轴的选取，坐标轴转动变换可以是非平凡的，因此要求采用线性的变换法则，以便将所有的转动通过一个矩阵联系起来，这要求变换必须满足乘法运算，而且必须保持内积不变，因此变换矩阵应当满足：